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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
f) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-\frac{1}{2}\right)^{n}$
f) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-\frac{1}{2}\right)^{n}$
Respuesta
Vamos a ver si esta serie converge o diverge usando el Criterio de Cauchy:
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$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\sqrt[n]{n} - \frac{1}{2}\right)^n} $
Simplificamos y nos queda:
$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1$
Como el resultado del límite nos dio $<1$, Cauchy nos asegura que nuestra serie converge :)